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原码、反码 和 补码知识(备忘 & 温故)

时间:09-10-12 栏目:系统技术篇 作者:鲁智森也有文化 评论:0 点击: 1,126 次




计算机

,定
点数

3


表示法

原码、反码和补码

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法,即最高位为符号位,“
0
”表示正,“
1
”表示负,其余位表示数值的大小。

   反码表示法规定:正数的反码与其原码相同;负数的反码是对其原码逐位取反,但符号位除外。

补码表示法规定:正数的补码与其原码相同;负数的补码是在其反码的末位加
1


1、

原码、反码和补码的表示方法

(1)
原码
:在数值前直接加一符号位的表示法。

例如:     
符号位 
数值位

[+7]原=  
0   
0000111 
B

[-7]原=  
1   
0000111 
B

    
注意:a. 数0的原码有两种形式:

           


 
[+0]原=00000000B   
[-0]原=10000000B

          
b.


8位二进制原码的表示范围:-127~+127

  (2)反码

    
正数:正数的反码与原码相同。

    
负数:负数的反码,符号位为“1”,数值部分按位取反。

例如:    
符号位 数值位

    
[+7]反= 
0  
0000111 
B

    
[-7]反= 
1  
1111000 
B

注意:a. 数0的反码也有两种形式,即

       


 
[+0]反=00000000B

        
[- 0]反=11111111B

     
b.


8位二进制反码的表示范围:-127~+127

3)补码的表示方法

1)模的概念:把一个计量单位称之为模或模数。
例如,时钟是以12
进制进行计数循环的,即以12为模。在时钟上,时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位,时针的位置不变。14点钟在舍去模12后,成为
(下午)2点钟(14=14-12=2)。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时),即2点
(0-10=-10=-10+12=2)。因此,在模12的前提下,-10可映射为+2。由此可见,对于一个模数为12的循环系统来说,加2和减10的效
果是一样的;因此,在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了(注:计算机的硬件结构中只有加法器,所
以大部分的运算都必须最终转换为加法)。10和2对模12而言互为补数。


同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为8),因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出,又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模,显然,8位二进制数,它的模数为28
=256。在计算中,两个互补的数称为“补码”。


 

2)补码的表示


   


正数:        正数的补码和原码相同。

负              负数的补码则是符号位为“1”,数值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。也就是“反码+1
”。

例如:      
符号位 数值位

     
[+7]
=  
0  
0000111 
B

     
[-7]
=  
1  
1111001 
B

补码在微型机中是一种重要的编码形式,请注意:

a.           

 
采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算,所得结果仍为补码。

b.           

与原码、反码不同,

数值0的补码只有一个,即      
[0]补=00000000B。

c.           

 


若字长为8位,则补码所表示的范围为-128~+127

;进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

2.原码、反码和补码之间的转换

由于                   正数的原码、补码、反码表示方法均相同,不需转换。

在此,仅以负数情况分析。

(1)   


已知原码,求补码


例:已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。

解:由[X]
=10110100B知,X为负数。求其反码时,符号位不变,数值部分按位求反;求其补码时,再在其反码的末位加1。

1 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
0  
原码

 

1 
1 
0 
0 
1 
0 
1 
1  
反码,符号位不变,数值位取反

                    
1  
+1

1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0  
补码

故:[X]
=11001100B,[X]
=11001011B。

(2)   

已知补码,求原码。

分析

按照求负数补码的逆过程,数值部分应是最低位减1,然后取反。但是对二进制数来说,先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的,故仍可采用取反加1 有方法。


例:已知某数X的补码11101110B,试求其原码。

解:由[X]
=11101110B知,X为负数。求其原码表示时,符号位不变,数值部分按位求反,再在末位加1。

1 
1 
1 
0 
1 
1 
1 
0  
补码

 

1 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
1  
符号位不变,数值位取反

                    
1  
+1

1 
0 
0 
1 
0 
0 
1 
0  
原码

1.3.2 
有符号数运算时的溢出问题

请大家来做两个题目:

两正数相加怎么变成了负数???

1)(+72)+(+98)=?

0 1 0 0 1 0 0 0 B   
+72

   
 
+ 
0 1 1 0 0 0 1 0 B

   
+98

       
1 0 1 0 1 0 1 0 B   

-42


两负数相加怎么会得出正数???

2)(-83)+(-80)=?

1 0 1 0 1 1 0 1 B   
-83

  
  
+ 
1 0 1 1 0 0 0 0 B

   
-80

       
0 1 0 1 1 1 0 1 B  

 
+93



 

 
思考:这两个题目,按照正常的法则来运算,但结果显然不正确,这是怎么回事呢?

  
答案:这是因为发生了溢出。

如果计算机的字长为n位,n位二进制数的最高位为符号位,其余n-1位为数值位,采用补码表示法时,可表示的数X的范围是  
-2n-1
≤X≤2n-1
-1


n=8时,可表示的有符号数的范围为-128~+127。两个有符号数进行加法运算时,如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时,就会发生溢出,使计算结果出错。很显然,溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。


于加法运算,如果次高位(数值部分最高位)形成进位加入最高位,而最高位(符号位)相加(包括次高位的进位)却没有进位输出时,或者反过来,次高位没有进
位加入最高位,但最高位却有进位输出时,都将发生溢出。因为这两种情况是:两个正数相加,结果超出了范围,形式上变成了负数;两负数相加,结果超出了范
围,形式上变成了正数。

而对于减法运算,当次高位不需从最高位借位,但最高位却需借位(正数减负数,差超出范围),或者反过来,次高位需从最高位借位,但最高位不需借位(负数减正数,差超出范围),也会出现溢出。

声明: 本文由( 鲁智森也有文化 )原创编译,转载请保留链接: 原码、反码 和 补码知识(备忘 & 温故)

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