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【数据结构重温】平衡二叉树(AVL)

时间:10-04-26 栏目:系统技术篇 作者:鲁智森也有文化 评论:0 点击: 1,523 次

     平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)1962年首先提出的,所以又称为AVL树。

定义:平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:

  1)左右子树深度之差的绝对值不超过1;

  2)左右子树仍然为平衡二叉树.

      平衡因子BF=左子树深度-右子树深度.

平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是10-1。若其绝对值超过1,则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图:

二、平衡二叉树算法思想

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系,使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后,原有其他所有不平衡子树无需调整,整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

        失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近,且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点,则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

 1LL型平衡旋转法

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。 即将A的左孩子B右上旋转代替A作为根结点,A右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。

2RR型平衡旋转法

由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C左上旋转代替A作为根结点,A左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。

3LR型平衡旋转法

由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先逆时针,后顺时针)。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D左上旋转提升到B结点的位置,然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型,再按LL型处理

      如图中所示,即先将圆圈部分先调整为平衡树,然后将其以根结点接到A的左子树上,此时成为LL型,再按LL型处理成平衡型。

4RL型平衡旋转法  

由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先顺时针,后逆时针),即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D右上旋转提升到C结点的位置,然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型,再按RR型处理。

 如图中所示,即先将圆圈部分先调整为平衡树,然后将其以根结点接到A的左子树上,此时成为RR型,再按RR型处理成平衡型。

平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点(其中一个可能是外部节点NULL),旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是,左旋的时候p->right一定不为空,右旋的时候p->left一定不为空,这是显而易见的。

如果从空树开始建立,并时刻保持平衡,那么不平衡只会发生在插入删除操作上,而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。

声明: 本文由( 鲁智森也有文化 )原创编译,转载请保留链接: 【数据结构重温】平衡二叉树(AVL)

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